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下载 `https://downloads.arduino.cc/packages/package_index.json` 时出错可能有多种原因。以下是一些常见的解决方法：

1. **检查网络连接**：

   - 确保你的设备已连接到互联网，并且网络连接稳定。

   - 尝试访问其他网站以确认网络是否正常工作。

2. **防火墙或代理设置**：

   - 如果你在使用公司网络或学校网络，可能需要配置防火墙或代理服务器。

   - 检查是否有任何防火墙规则阻止了对 Arduino 网站的访问。

3. **DNS问题**：

   - 有时 DNS 解析问题可能导致无法访问特定网站。你可以尝试更改 DNS 服务器，例如使用 Google 的公共 DNS（8.8.8.8 和 8.8.4.4）。

4. **浏览器缓存**：

   - 清除浏览器缓存和 cookies，然后重试下载。

5. **手动下载**：

   - 你可以尝试在浏览器中直接访问该 URL，看看是否能手动下载文件。如果可以下载，说明可能是 Arduino IDE 的问题。

6. **更新 Arduino IDE**：

   - 确保你使用的是最新版本的 Arduino IDE。旧版本可能存在一些问题，可以通过 Arduino 官方网站下载最新版本。

7. **检查系统时间**：

   - 确保你的计算机日期和时间是正确的。不正确的时间可能会导致 SSL 证书验证失败。

8. **禁用防病毒软件**：

   - 某些防病毒软件可能会干扰网络请求。尝试临时禁用防病毒软件，然后重新尝试下载。

9. **使用VPN**：

   - 如果上述方法都不奏效，可以尝试使用 VPN 来绕过地理限制或网络问题。

如果以上方法都无法解决问题，建议查看 Arduino 社区论坛或联系 Arduino 支持团队获取进一步帮助。