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这几年来，每次做自我介绍时，总有非常尴尬的场面。有人问我：“你大学是学什么的？”如果我答：哦，我是学自动化的。”对方经常会一脸茫然，如果对方 是外国人，就更加不理解了，通常会接着问：“自动化是做什么的？”为了避免这样的局面，后来当别人问我大学的专 业时，我索性不照直回答，而说：“哦，我是学自动控制的。”对方听后，虽然还是不明所以，但是通常不会继续再追问了。

在控制理论中，PID是一种在很早就成熟起来的经典控制方法之一，并且在控制理论日新月异的高速发展的情况下，仍能在工业实际应用中，占据垄断的地位，的确是很值得思考。在Quadlator I和Quadlator II中，撇开上层控制算法不说，在电机控制这一局部，都使用了PID控制。

PID控制是任何学习自动控制理论课程的必讲内容，因此这些介绍也本着这样的原则：对于熟悉的读者，这些内容可以略去不管；对于已经忘记的差不多得读者，这些可以唤起你当初大学时得回忆；对于初学的爱好者，这个是比课本更加简略的介绍，不涉及太多的理论推导，而更重视实际效果和应用。所以将主要介绍以下内容：

• PID的基本概念
• 怎么使用PID控制，尤其在控制电机时如何实现

PID是比例，积分，微分的首字母缩写。为了不一上来就进行复杂的理论推导。这里用直观朴素的“问题－解答 ”方式加以介绍。

假设你要在房间的墙上张贴一幅年画，你站在椅子上，你的审美情趣严格的妻子站在远处告诉你画是否摆正了。她会说：“太偏了，向左 ”，于是你会把画向左移动很大一截；然后你妻子告诉你：过了，向右一点，于是你把画向右移动，但是这次不是很大一截，而是幅度小一些的移动；这时你妻子说：过了一点点，稍微向左一点，这时你会小心谨慎的只向左移动很小的一段距离。

上述过程，实际是一个比例控制系统的工作工程。可以用下面的图表示出来：

你们预先有一个目标位置Destination，例如房间墙的正中。你实际在墙上摆放的位置Output，被你妻子观察（measure)到后，作为反馈量和预期目标进行比较，这个比较的差值作为新的输出的指导，如果差距大，你就进行较大的调整，反之调整量就小。如果用数学公式表示，就是：

Output[下次]=P*(Destination-Output[本次])

这样的系统可以满足相当部分的控制要求了，但是有什么不足之处么？从直观上看，似乎发现不了，应用上述方法，几乎可以保证把图片摆到墙的基本中间位置。但是仔细分析上面的公式就会发现问题——永远也不可能100%达到指定位置。因为一旦Output和 Destination相等，也就是误差为0的时候，公式左侧就等于0，也就是说，下次的输出是0。但是目标位置Destination不是0，于是下下次就会产生新的误差，大小为Destination，于是就会有下下次的新调整……这个过程反复下去。直到达到某种平衡，这时

Output=Destination*P/(1+P)

然后系统达到稳定。这种误差永远不会为0的现象，术语上叫“残差”。这就是比例控制（P控制）的缺点，另外一个缺点，就是如果P的值太大，有可能造成下次的误差会大于本次的误差，系统会迅速崩溃。于是针对这些问题，积分控制(I控制）就被引入了进来。

现在回过头来从哲学的角度看，PID的思想非常朴素。他们体现了人类从今天，历史，未来三个角度来把握事务的思想。比例(P)控制是着眼于今天，“有错就改，过而改之，善莫大焉”；而积分控制在于分析历史，总结经验，把历史上的错误累计起来，加以考虑：

积分控制的直接含义，不是那么直观，从上面图上大概可以看出，针对误差Err=(Destination-Output)，除了直接用比例(P)放大之外，还要考虑误差在时间上的累计效应，并且把这个累计结果也放大（乘以系数I）后，共同作为下次的输出，用数学公式表示就是：

Output[下次]=P*(Destination-Output[本次])+I*Σ(Destination -Output[本次])??t

积分控制的优点是，可以有效的消除残差，从而保证最后系统稳定时 Destination和Output正好相等。但是积分控制的缺点是“超调”问题。所谓超调，用通俗易懂的话解释就是“过犹不及 ”，比如本次的输出，距离目标输出相差5厘米，经过调整后，下次的输出超过目标3厘米，之后再反复几次后，达到目标。那么这个超过的3厘米就称为“超调”。超调会造成系统振荡，如果下次的误差甚至大于了本次的误差，系统就会越振越厉害，最终崩溃。因此积分控制虽然改善了比例控制中残差的问题，却没有解决稳定性的问题。要想解决稳定性的问题，微分(D)控制就被引入了进来。

最后说说微分(D)控制，如果说比例控制在于把握今天，积分控制在于总结历史经验，微分控制就在于预测未来了。微分控制考虑了本次调节误差的变化速度，然后根据这个变化速度加以预测，提前进行调节。用框图表示就是：

根据前面的描述，误差就是输出Output和目标Destination之间的差，所以误差的变化就是：

??Err = Err[本次]－Err[上次]
     = (Output[本次]-Destination)-(Output[上次]-Destination)
     = Output[本次]-Output[上次]
     = ??Output

微分控制考虑了误差的变化速度，并根据这个速度及时调整下次的输出，这样就提前抑制了过大的超调，也改善了系统的稳定性。

最后给出一个公式上的总结，综合采用了PID三种控制的控制系统可以表示如下：

Output[下次] = Kp*P分量＋Ki*I分量+Kd*D分量
             = Kp*Err+Ki*Σ(Err*Δt)+Kd*ΔErr/Δt

其中，Err=Destination-Output。

以上大致介绍了一下PID控制的基本概念，我没有给出复杂的数学推导（包括拉普拉斯Laplace变换）,和控制输出曲线图，这些可以在任何一本控制理论的教科书里看到。如果读者感兴趣，可以参考这些资料。我这里只是希望给出PID的直观意义——朴素的解决问题的思路。希望这种尝试对于初学者能够降低门槛，对于专业人员，这些则是我的一家之言。

下面，我给出一个应用PID实际控制电动机的实现。从而完成“理论－实践”的思路。经过前面几部分的铺垫，底层内核模块的电机驱动已经给出，PID就可以放在用户空间。结合机器人关节的控制，最直观的一种是控制关节的角度，本次四足12个关节的角度为θ[4][3]，由于C 语言不支持希腊字母，因此用theta来表示，这些角度可以由光电码盘计数得到；上次的各关节角度为θ_old [4][3]。在上面的最后一个总结性公式中，最终输出等于P分量，I分量，D分量各自乘以系数后三者的和，针对每个关节用分别用P[4][3],I [4][3]和D[4][3]表示，上次和上上次的各分量值，如有必要分别加_old和_old_old后缀。两次控制运算的间隔时间用dt表示，上一次的时间间隔用dt_old表示。PID的系数（放大倍数或者增益）分别用Kp,Ki和Kd表示。这样定义后的ANSI C头文件如下：

#include "motor_ctrl.h"

//Run in user-space
typedef struct PIDCRTL{
     MotorDriver* p_motor; 

     //all use DEG
     double theta[4][3];                  //measured from Counter
     double theta_old[4][3]; 

     double err[4][3];
     double err_old[4][3]; 

     double P[4][3],I[4][3],D[4][3];
     double Kp,Ki,Kd;

     double t, t_old, dt;
}PIDCTRL;

void pid_ctrl_create(PIDCTRL* p_pid_ctrl);
void pid_position_ctrl(PIDCTRL* p_pid_ctrl, double th0[4][3], double da_value[4][3]);

头文件中最后给出了2个函数，一个是初始化函数pid_ctrl_create用于各个变量的初始化，基本就是各个变量初始化为0，系数预先设置好，如下：
void pid_ctrl_create(PIDCTRL* p_pid_ctrl){
     int i,j;
     for(i=0;i<4;i++){
           for(j=0;j<3;j++){
                p_pid_ctrl->theta[i][j]=0;
                p_pid_ctrl->theta_old[i][j]=0; 

                p_pid_ctrl->err[i][j]=0;
                p_pid_ctrl->err_old[i][j]=0; 

                p_pid_ctrl->P_old[i][j]=0;
                p_pid_ctrl->P[i][j]=0;
                p_pid_ctrl->I[i][j]=0;
                p_pid_ctrl->D[i][j]=0;
           }
     }

     p_pid_ctrl->Kd=0.01;
     p_pid_ctrl->Ki=0.01;
     p_pid_ctrl->Kp=2.0; 

     p_pid_ctrl->t=0;
     p_pid_ctrl->t_old=0;    

     p_pid_ctrl->dt=0;
}

另一个是核心算法函数，用PID实现对关节位置的控制。算法实现如下：

void pid_position_ctrl(PIDCTRL* p_pid_ctrl, double th0[4][3], double da_value[4][3]){
     int i,j; 

     for(i=0;i<4;i++){
           for(j=0;j<3;j++){
                p_pid_ctrl->err[i][j]=th0[i][j]-p_pid_ctrl->theta[i][j];
                p_pid_ctrl->P[i][j]=err[i][j];               

                //area of ladder shap
                p_pid_ctrl->I[i][j] += (p_pid_ctrl->err[i][j]+p_pid_ctrl->err_old[i][j])*
                        p_pid_ctrl->dt*0.5;

                if(p_pid_ctrl->dt >0.001)
                     p_pid_ctrl->D[i][j] = 
                        (p_pid_ctrl->theta[i][j]-p_pid_ctrl->theta_old[i][j])/p_pid_ctrl->dt;

                da_value[i][j] = p_pid_ctrl->Kp*p_pid_ctrl->P[i][j]+
                                 p_pid_ctrl->Ki*p_pid_ctrl->I[i][j]+
                                 p_pid_ctrl->Kd*p_pid_ctrl->D[i][j];     //-10 --- +10

                //DA out limit
                da_value[i][j] = da_value[i][j] >MAX_DA_OUT ? MAX_DA_OUT : da_value[i][j];
                da_value[i][j] = da_value[i][j] <-MAX_DA_OUT ? -MAX_DA_OUT : da_value[i][j];
           }
     }
     p_pid_ctrl->dt_old=p_pid_ctrl->dt;
     pid_update(p_pid_ctrl);
}

这个函数的参数有3个，一个是PID控制的结构体指针，一个是各个关节的本次的目标角度，最后一个参数是本次PID调节后，应该输出到DA转换器的电压。基本上比较直观，稍微值得解释的是积分的运算部分，积分运算采用了梯形面积计算法，说明如下图

积分的物理意义是曲线下方的面积，计算面积可以用矩形法，但是梯形法更加精确，就是把这个面积分隔成一个一个小的梯形，而梯形的面积可以用（上底+下底）*高/2来计算，这就是上面函数中：(Err[上次]+Err[本次])*dt/2的意义。

至此，本部分给出了PID控制的基本概念和简单实现，希望能够帮助读者对此能建立一个感性的认识，而不再对PID控制感到困难和不可理 解。

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