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三篇文章中，我们得出了以下结论：自然常数 可以描述事物的连续变化，虚数单位 可以描述旋转，复指数函数 代表一个连续旋转的圆。（这一点不太理解的，可阅读上面三篇文章，里面有详细介绍）。

当频率为 时，

当 时，

clc;clear;h = animatedline;xl=xlabel('cos(\omegat)');% yl=ylabel('sin(\omegat)');% grid on;title('\omega = 1rad/s   Made by J Pan')axis([-1,1,-1,1]);axis square;N = 100;t=linspace(0,2*pi,N);w=1;x=cos(w*t);y=sin(w*t);a = tic; % start timerfor k = 1:N    addpoints(h,x(k),y(k));    hold on    quiver(0,0,x(k)*1.1,y(k)*1.1)    b = toc(a); % check timer    if b > (1/90)        drawnow % update screen every 1/30 seconds        a = tic; % reset timer after updating    endend

因此， 可以看成是一组连续旋转的曲线，幅值永远为1，频率一直在变。这些旋转的曲线能干什么？

图片来源网络

(3) 在绝对可积，即 。

傅里叶变换能帮我们解决很多问题，一经问世后便受到广大工程师们的喜爱，因为它给人们提供了一扇不同的窗户来观察世界，从这个窗户来看，很多事情往往变得简单多了。但是，别忘了，傅里叶变换有一个很大局限性，那就是信号必须满足狄利赫里条件才行，特别是那个绝对可积的条件，一下子就****掉了一大批函数。比如函数 就无法进行傅里叶变换。这点难度当然拿不到聪明的数学家们，他们想到了一个绝佳的主意：把不满足绝对的可积的函数乘以一个快速衰减的函数，这样在趋于 时原函数也衰减到零了，从而满足绝对可积。

图片来自：https://www.zhihu.com/question/22102732/answer/369089156

为保证 一直为衰减函数，我们把 定义域缩减到正半轴，这样可以进行傅里叶变换就变成了：

我前面的专栏文章说了， 代表按不同频率旋转的单位圆，那是在复平面来看的，想象力丰富的同学可以脑补一下，如果把时间轴也加上， 长什么样子呢？那就是螺旋曲线！

clc;clear;h = animatedline;h1=gcf;view(3);xl=xlabel('cos(-\omegat)');% yl=ylabel('sin(-\omegat)');% zl=zlabel('t');% set(xl,'Rotation',30);% set(yl,'Rotation',-30);%grid on;title('\omega = 1rad/s   Made by J Pan')axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])N = 200;t=linspace(0,4*pi,N);w=1;x=cos(-w*t);y=sin(-w*t);a = tic; % start timerfor k = 1:N    addpoints(h,x(k),y(k),t(k));    hold on    line([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red')    b = toc(a); % check timer    if b > (1/90)        drawnow % update screen every 1/30 seconds        a = tic; % reset timer after updating    endend

下面我们再来看看 长什么样子：

clc;clear;h = animatedline;h1=gcf;view(3);xl=xlabel('cos(-\omegat)');% yl=ylabel('sin(-\omegat)');% zl=zlabel('t');% set(xl,'Rotation',30);% set(yl,'Rotation',-30);%grid on;title('\omega = 1rad/s   Made by J Pan')axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])N = 200;t=linspace(0,4*pi,N);w=1;sig=0.1;x=exp(-sig*t).*cos(-w*t);y=exp(-sig*t).*sin(-w*t);a = tic; % start timerfor k = 1:N    addpoints(h,x(k),y(k),t(k));    hold on    line([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red')    b = toc(a); % check timer    if b > (1/90)        drawnow % update screen every 1/30 seconds        a = tic; % reset timer after updating    endend

 ，令 ,则 ;

 ,令 ,则 ;