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信号的“无限持续时间”是能够应用傅里叶分析这一强大方法的必要工作假设。在本文中，我们将证明不仅可以将无限能量信号纳入分析，还可以将周期信号纳入分析。

设x(t)为设备的输出信号（图1）。

图1：输出信号x(t)，其中R表示负载电阻

由于焦耳效应，R消耗的瞬时功率为：

由于W(t)是能量对时间的导数，因此我们可以得到在区间[0,t]内耗散的能量如下：

我们隐含地假设是t=0作为初始时刻。然而，这种选择破坏了使用傅里叶变换进行E(t)谱分析的可能性。我们可以按以下方法计算耗散的能量：

假设信号无限地“开启”，则x(t)的总能量由下式给出：

其中，我们设置R=1Ω来归纳定义。

注意，在方程(4)中，无论x(t)为多少，都满足以下条件：E≤+∞。也就是说，即使x(t)不可积分，函数x(t)2在区间(−∞,+∞)中仍然可积分，从这个意义上说，积分扩展到(−∞,+∞)可能会产生不定形式∞−∞。有些函数无法在区间(−∞,+∞)内积分，但仍具有柯西主值：

对于这种类型的积分，我们通常有：

换句话说，积分的值取决于我们如何使积分区间发散。对于这些积分（称为瑕积分），对称区间[−T,T]被视为默认值，并且T趋于无穷大。

此外，函数x(t)2的积分永远不会产生不定形式∞−∞，因为它有一个常数符号，所以我们有E≤+∞。因此，在这个量的情况下，方程(6)可以写成如下：

也就是说，x(t)2的积分并不取决于我们如何使积分区间发散。这是一个基本层面，因为如果不是这样，信号的总能量就会随着我们扩大积分区间而改变。

对可求和性以及可积分性的要求似乎是合理的，因为总能量除了唯一确定之外，还必须是一个有限量：E<+∞。在第一步中，似乎有必要参考在无穷远处迅速归零的x(t)信号，以使积分收敛。有些信号虽然不会无限归零，但能量却是有限的。例如，让我们考虑以下信号，为了数学上的方便，其中各种量都用无量纲单位表示：

我们可以直观地理解这一信号的行为：如果指数参数中没有sin2t，我们将得到一个非常正常的高斯信号（正态分布）。然而，参数是由sin2t调制的，这会导致一个非常“窄”的峰值。

反过来，高斯信号的幅度也受到t2的调制。图2中的图形突出显示了这些影响的结果，从中我们可以看到信号不会无限归零，它会被缩小为一系列幅度不断增加（如t2）但宽度不断减小的脉冲。因此，在极限|t|→+∞，单个峰无限高且无限细。所以，它们的面积返回0·∞，可以是一个有限量。这样就有了总的有限面积，积分具有了有限值。

请注意，这些结论看似草率，但实际已经得到了严格的数学分析论证，主要是为了简洁，我们在此省略了分析过程。

在无穷远处具有这种"有限性"必须付出的代价是，函数x(t)在|t|→+∞时没有极限。无论我们把t设得多大，它都取0和t之间的所有值。

图2：方程(8)的趋势

具有有限总能量的信号x(t)就构成了数学家所说的函数空间L2(−∞,+∞)。它是一个向量空间，其“向量”是可求和的平方函数x(t)。L2上的傅里叶分析由此展开。准确地说，我们可以对任何具有有限能量的信号x(t)进行傅里叶变换：

根据众所周知的帕塞瓦尔定理（Parseval，能量守恒定理），我们有：

其中|X(f)|2是能量谱密度或能谱，即每单位频率间隔内的能量。通常，它被称为功率谱。

x(t)=x0=常数，这一类型的恒定信号显然具有无限的总能量。或者，我们可以通过著名的rect()函数截断x(t)，该函数在[−T/2,T/2]中是常数x0（其中T>0是信号的持续时间），在该区间外为零。数学家称之为紧支撑函数的函数在物理上非常有趣，它可以使极端的不连续趋势变得“更柔和”，因为它们不会瞬时归零（每个物理过程都有其“关闭”的时间大小，只有在宏观尺度上才可能是瞬时的）。

众所周知，rect()的傅里叶变换是sinc()函数，其以频率为自变量，以持续时间T为自由参数。对于后者的给定值，我们发现f=0是主要频率，因为sinc函数在该值附近峰值达到极大值，而其他频率则由无限抵消的尾部振荡决定。

然而，随着信号持续时间T的增加，同步峰值会逐渐变得更加明显，同时尾峰也会减少。这有一个直接的物理解释：随着T的增加，信号趋于恒定，因此非零频率的贡献将逐渐变得微不足道。在T→+∞的极限下，信号是严格恒定的，上述频率消失，并且我们在f=0处有一个趋于无穷大的主项。也就是之前文章中提到的狄拉克δ函数。

练习1：证明持续时间为T的正弦振荡的傅里叶变换是一个以f0为中心的sinc函数，其中该量是振荡频率。最后，验证在T→+∞的极限下，傅里叶变换是以f0为中心的狄拉克δ函数。

傅里叶变换框架是同名分析的构成要素。借助分布理论（狄拉克δ函数），可以处理恒定信号和周期信号的病态案例（见练习1），从而将傅里叶级数理论融入其中。