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一、正数
　　在高速发展的现代社会，计算机浩浩荡荡地成为了人们生活中不可缺少的一部分，帮助人们解决通信，联络，互动等各方面的问题。今天我就给大家讲讲与计算机有关的“进制转换”问题。

　　我们以（25.625）（十）为例讲解一下进制之间的转化问题。

1. 十 -----> 二
　　给你一个十进制，比如：6，如果将它转换成二进制数呢？

　　10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程：

　　把要转换的数，除以2，得到商和余数，

　　将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。

　　听起来有些糊涂？我们结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。

　　“把要转换的数，除以2，得到商和余数”。

　　那么：

　　要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。 （不要告诉我你不会计算6÷2！）

　　“将商继续除以2,直到商为0……”

　　现在商是3，还不是0，所以继续除以2。

　　那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。

　　“将商继续除以2，直到商为0……”

　　现在商是1，还不是0，所以继续除以2。

　　那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1 （拿笔纸算一下，1÷2是不是商0余1!）

　　“将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列”

　　好极！现在商已经是0。

　　我们三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了！

　　6转换成二进制，结果是110。

　　把上面的一段改成用表格来表示，则为：

　　被除数 计算过程 商 余数

　　6 6/2 3 0

　　3 3/2 1 1

　　1 1/2 0 1

　　（在计算机中，÷用 / 来表示）

2. 二 ----> 十
　　二进制数转换为十进制数

　　二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方……

　　所以，设有一个二进制数：0110 0100，转换为10进制为：

　　下面是竖式：

　　0110 0100 换算成 十进制

　　" ^ " 为次方

　　第0位 0 * 2^0 = 0

　　第1位 0 * 2^1 = 0

　　第2位 1 * 2^2 = 4

　　第3位 0 * 2^3 = 0

　　第4位 0 * 2^4 = 0

　　第5位 1 * 2^5 = 32

　　第6位 1 * 2^6 = 64

　　第7位 0 * 2^7 = 0 ＋

　　---------------------------

　　100

　　用横式计算为：

　　0 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 0 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 + 0 * 2 ^ 7 = 100

　　0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：

　　1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 = 100

3. 十 ----> 八
　　10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化：除数由2变成8。

　　来看一个例子，如何将十进制数120转换成八进制数。

　　用表格表示：

　　被除数 计算过程 商 余数

　　120 120/8 15 0

　　15 15/8 1 7

　　1 1/8 0 1

　　120转换为8进制，结果为：170。

4. 八 ----> 十
　　八进制就是逢8进1。

　　八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。

　　八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方……

　　所以，设有一个八进制数：1507，转换为十进制为：

　　用竖式表示：

　　1507换算成十进制。

　　第0位 7 * 80 = 7

　　第1位 0 * 81 = 0

　　第2位 5 * 82 = 320

　　第3位 1 * 83 = 512 ＋

　　--------------------------

　　839

　　同样，我们也可以用横式直接计算：

　　7 * 80 + 0 * 81 + 5 * 82 + 1 * 83 = 839

　　结果是，八进制数 1507 转换成十进制数为 839

　　5. 十 ----> 十六

　　10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化：除数由2变成16。

　　同样是120，转换成16进制则为：

　　被除数 计算过程 商 余数

　　120 120/16 7 8

　　7 7/16 0 7

　　120转换为16进制，结果为：78。

6. 十六----> 十
　　16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这五个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。

　　十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……

　　所以，在第N（N从0开始）位上，如果是是数 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小为 X * 16的N次方。

　　假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢？

　　用竖式计算：

　　2AF5换算成10进制:

　　第0位： 5 * 160 = 5

　　第1位： F * 161 = 240

　　第2位： A * 162 = 2560

　　第3位： 2 * 163 = 8192 ＋

　　-------------------------------------

　　10997

　　直接计算就是：

　　5 * 160 + F * 161 + A * 162 + 2 * 163 = 10997

　　(别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15)

　　现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。

　　假设有人问你，十进数 1234 为什么是 一千二百三十四？你尽可以给他这么一个算式：

　　1234 = 1 * 103 + 2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100

7. 二 ----> 八
　　（11001.101）（二）

　　整数部分： 从后往前每三位一组，缺位处用0填补，然后按十进制方法进行转化， 则有：

　　001=1

　　011=3

　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：31，那么这个31就是二进制11001的八进制形式

　　小数部分： 从前往后每三位一组，缺位处用0填补，然后按十进制方法进行转化， 则有：

　　101=5

　　然后我们将结果部分按从上往下的顺序书写就是：5，那么这个5就是二进制0.101的八进制形式

　　所以：（11001.101）（二）=（31.5）（八）

8. 八 ----> 二
　　（31.5）（八）

　　整数部分：从后往前每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数，缺位处用0补充 则有：

　　1---->1---->001

　　3---->11

　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：11001，那么这个11001就是八进制31的二进制形式

　　说明，关于十进制的转化方式我这里就不再说了，上一篇文章我已经讲解了！

　　小数部分：从前往后每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数，缺位处用0补充 则有：

　　5---->101

　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：101，那么这个101就是八进制5的二进制形式

　　所以：（31.5）（八）=（11001.101）（二）

9. 十六 ----> 二 ；二 ----> 十六
　　二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。

　　我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。

　　首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢？

　　你可能还要这样计算：1 * 20 + 1 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。

　　然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。即，最高位的权值为23 ＝ 8，然后依次是 22 ＝ 4，21＝2， 20 ＝ 1。

　　记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。

　　下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值（中间略过部分）

　　仅4位的2进制数 快速计算方法 十进制值 十六进值

　　1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F

　　1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E

　　1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D

　　1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C

　　1011 = 8 + 4 + 0 + 1 = 11 B

　　1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A

　　1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 10 9

　　....

　　0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1

　　0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0

　　二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。

　　如(上行为二制数，下面为对应的十六进制)：

　　1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011

　　F D ， A 5 ， 9 B

　　反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？

　　先转换F：

　　看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这五个数），然后15如何用8421凑呢？应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。

　　接着转换 D：

　　看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 2 + 1,即：1011。

　　所以,FD转换为二进制数，为： 1111 1011

　　由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。

　　比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数:

　　被除数 计算过程 商 余数

　　1234 1234/16 77 2

　　77 77/16 4 13 (D)

　　4 4/16 0 4

　　结果16进制为： 0x4D2

　　然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式： 0100 1011 0010。

　　其中对映关系为：

　　0100 -- 4

　　1011 -- D

　　0010 -- 2

　　同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。

　　下面举例一个int类型的二进制数：

　　01101101 11100101 10101111 00011011

　　我们按四位一组转换为16进制： 6D E5 AF 1B

二、负数
　　负数的进制转换稍微有些不同。

　　先把负数写为其补码形式（在此不议），然后再根据二进制转换其它进制的方法进行。

　　例：要求把-9转换为八进制形式。则有：

　　-9的补码为11110111。然后三位一划

　　111---->7

　　110---->6

　　011---->3

　　然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：367，那么367就是十进制数-9的八进制形式。

　　补充：

　　最近有些朋友提了这样的问题“0.8的十六进制是多少？”

　　我想在我的空间里已经有了详细的讲解，为什么他还要问这样的问题那

　　于是我就动手算了一下，发现0.8、0.6、0.2... ...一些数字在进制之间的转化

　　过程中确实存在麻烦。

　　就比如“0.8的十六进制”吧！

　　无论你怎么乘以16，它的余数总也乘不尽，总是余8

　　这可怎么办啊，我也没辙了

　　第二天，我请教了我的老师才知道，原来这么简单啊！

　　具体方法如下：

　　0.8*16=12.8

　　0.8*16=12.8

　　.

　　.

　　.

　　.

　　.

　　取每一个结果的整数部分为12既十六进制的C

　　如果题中要求精确到小数点后3位那结果就是0.CCC

　　如果题中要求精确到小数点后4位那结果就是0.CCCC

　　现在OK了，我想我的朋友再也不会因为进制的问题烦愁了！

　　下面是将十进制数转换为负R进制的公式：

　　N=(dmdm-1...d1d0)-R

　　=dm*(-R)^m+dm-1*(-R)^m-1+...+d1*(-R)^1+d0*(-R)^0

　　15=1*(-2)^4+0*(-2)^3+0*(-2)^2+1*(-2)^1+1*(-2)^0

　　=10011(-2)

　　其实转化成任意进制都是一样的

　　初学者最容易犯的错误！！！！！！！

　　犯错：（-617）D=（-1151）O=（-269）H

　　原因分析：如果是正数的话，上面的思路是正确的，但是由于正数和负数在原码、反码、补码转换上的差别，所以按照正数的求解思路去对负数进行求解是不对的。

　　正确的方法是：首先将-617用补码表示出来，然后再转换成八进制和十六进制（补码）即可。

　　注：二进制补码要用16位。

　　正确答案：：（-617）D=（176627）O=（fd97）H

　　负数十进制转换成八进制或十六进制方法

　　如（-12）10=（　）8=（　）16

　　第一步：转换成二进制

　　1000 0000 0000 1100

　　第二步：补码，取反加一　

　　注意：取反时符号位不变！　

　　1111 1111 1111 0100

　　第三步：转换成八进制是三位一结合：（177764）8

　　转换成十六进制是四位一结合：（fff4）16