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虽然滤波器主要是针对其幅度响应而设计的，但相位响应在某些应用中可能很重要。

介绍

在本系列的第一篇文章中，我研究了过滤器阶段与过滤器实现拓扑的关系。在第二篇文章中，我研究了低通和高通响应的滤波器传递函数的相移。本文将集中讨论带通响应。虽然滤波器主要是针对其幅度响应而设计的，但相位响应在某些应用中可能很重要。

出于回顾的目的，有源滤波器的传递函数实际上是滤波器传递函数和放大器传递函数的级联（参见图1）。

图1.过滤为两个传递函数的级联。

带通传递函数

将低通原型的分子更改为

将过滤器转换为带通函数。这将使传递函数为零。分子中的s项给出了一个零和一个在分子中的s项给了我们一个极点。零点会产生频率上升的响应，而极点会产生频率下降的响应。

那么二阶带通滤波器的传递函数是：

ω0这里是滤波器增益达到峰值的频率（F0 =2πω0）。

H0是电路增益（Q峰值），定义如下：

其中H是过滤器实现的增益。

Q对带通响应具有特定含义。它是过滤器的选择性。它被定义为：

其中FL和FH是响应距离最大值-3 dB的频率。

过滤器的带宽（BW）描述为：

可以看出，共振频率（F0）是FL和FH的几何平均值，这意味着F0将以对数标度出现在FL和FH之间的中间。

另外，请注意，带通响应的裙边将始终在对数刻度上围绕F0对称。

带通滤波器对各种Q值的幅度响应如图2所示。在该图中，中心频率的增益归一化为1（0 dB）。

图2.归一化带通滤波器幅度响应。

同样，本文主要关注相位响应，但了解滤波器的幅度响应是有用的。

这里需要注意一点。带通滤波器可以用两种不同的方式定义。窄带情况是我们在上面展示的经典定义。然而，在某些情况下，如果高和低截止频率被广泛分离，则带通滤波器由分开的高通和低通部分构成。在这种情况下，广泛分离的意思是由至少两个八度音程（频率×4）分开。这是宽带情况。我们主要关注本文的窄带案例。对于宽带情况，请将滤波器评估为单独的高通和低通部分。

虽然可以根据标准响应来定义带通滤波器，例如Butterworth，Bessel或Chebyshev，但它们通常也由它们的Q和F0定义。

带通滤波器的相位响应是：

注意，没有单极带通滤波器。

图3.归一化带通滤波器相位响应。

图3评估了从中心频率以下20年到中心频率以上20年的公式6。中心频率的相移为0°。中心频率为1，Q为0.707。这与前一篇文章中使用的Q相同，尽管在那篇文章中我们使用了α。记住α= 1 / Q.

检查表明该曲线的形状与低通（和高通）的形状基本相同。然而，在这种情况下，相移为90°，低于中心频率，中心频率为0°，中心频率以上-90°。

在图4中，我们检查了具有变化Q的带通滤波器的相位响应。如果我们看一下传递函数，我们可以看到相位变化可以在相对较大的频率范围内发生，并且该变化与电路的Q成反比。同样，检查显示曲线具有与低通（和高通ICfans）响应相同的形状，只是具有不同的范围。

图4.具有变化Q的归一化带通滤波器相位响应。

放大器传递函数

在前面的文章中已经表明，传递函数基本上是单极滤波器的传递函数。虽然放大器的相移通常被忽略，但它可能影响复合滤波器的整体传输。AD822被任意选择用于本文中的滤波器模拟。部分选择是为了最小化对滤波器传递函数的影响。这是因为放大器的相移频率远高于滤波器本身的转角频率。AD822的传递函数如图5所示，该信息是直接从数据手册中获取的信息。

图5. AD822波特图增益和相位。

例1：1kHz，2极带通滤波器，Q = 20

第一个例子是一个从一开始就被设计为带通的滤波器。我们任意选择1 kHz的中心频率和20的Q.由于Q在较高的一侧，我们将使用双放大器带通（DABP）配置。同样，这是一个任意的选择。

我们使用参考文献1中的设计公式。得到的电路如图6所示：

图6. 1 kHz，Q = 20 DABP带通滤波器。

我们主要关注本文的阶段，但我认为检查幅度响应很有用。

图7. 1 kHz，Q = 20 DABP带通滤波器幅度响应。

我们在图8中看到相位响应：

图8. 1 kHz，Q = 20 DABP带通滤波器相位响应。

请注意，DABP配置是非反转的。图8与图3相匹配。

示例2：1kHz，3极0.5dB切比雪夫低通到带通滤波器变换

滤波器理论基于低通原型，然后可以被操纵成其他形式。在此示例中，将使用的原型是1 kHz，3极，0.5 dB Chebyshev滤波器。选择Chebyshev滤波器是因为如果响应不正确则会更清楚地显示。例如，通带中的涟漪不会排成一行。在这种情况下，巴特沃斯滤波器可能太宽容了。选择3极滤波器，以便变换极对和单极。

LP原型的极点位置（来自参考文献1）是：

第一级是极对，第二级是单极。注意使用α作为两个完全独立的参数的不幸惯例。左侧的α和β是s平面中的极点位置。这些是转换算法中使用的值。右边的α是1 / Q，这是物理滤波器的设计方程想要看到的。

低通原型现在转换为带通滤波器。参考文献1中概述的方程式字符串用于转换。原型滤波器的每个极点将转换为极对。因此，3极原型在转换时将具有6个极点（3极对）。此外，原点将有六个零。没有单极带通这样的东西。

转换过程的一部分是指定结果滤波器的3 dB带宽。在这种情况下，此带宽将设置为500 Hz。转化结果产量：

实际上，将较低增益，较低Q部分放在字符串中可能是有用的，以最大化信号电平处理。前两个阶段的增益要求的原因是它们的中心频率将相对于总滤波器的中心频率衰减（即，它们将位于其他部分的裙部上）。

由于结果Qs是中等的（小于20），因此将选择多反馈拓扑。参考文献1的多反馈带通滤波器的设计方程用于设计滤波器。图9显示了滤波器本身的原理图。

图9. 1 kHz，6极，0.5 dB Chebyshev带通滤波器。

在图10中，我们看一下完整滤波器的相移。该图显示了第一部分（第1部分IC），前两部分（第2部分）和完整滤波器（第3部分）的相移。这些显示了“实际”滤波器部分的相移，包括放大器的相移和滤波器拓扑的反转。

图10中有几个细节需要注意。首先，相位响应是累积的。第一部分显示180°的相位变化（滤波器功能的相移，忽略滤波器拓扑的相移）。第二部分显示360°的相位变化，因为有两个部分，两个部分各自180°。请记住，360°= 0°。第三部分显示540°的相移，每个部分180°。另请注意，在10 kHz以上的频率下，由于放大器响应，我们开始看到相位略微滚降。我们可以看到滚降再次累积，每个部分都在增加。

图10. 1 kHz，6极，0.5 dB Chebyshev 带通滤波器的相位响应。

在图11中，我们看到了完整滤波器的幅度响应。

图11. 1 kHz，6极，0.5 dB Chebyshev 带通滤波器的幅度响应。

结论

本文考虑了带通滤波器的相移。在本系列的前几篇文章中，我们研究了与滤波器拓扑以及高通和低通拓扑相关的相移。在以后的文章中，我们将介绍陷波和全通滤波器。在最后一部分中，我们将它们组合在一起并检查相移如何影响滤波器的瞬态响应，查看群延迟，脉冲响应和阶跃响应，以及这对信号意味着什么。