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傅里叶变换的公式为：






可以把傅里叶变换也成另外一种形式：





可以看出，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是完备的正交函数集，不同频率的三角函数的之间的内积为0，只有频率相等的三角函数做内积时，才不为0。





下面从公式解释下傅里叶变换的意义：


因为傅里叶变换的本质是内积，所以f(t)和  求内积的时候，只有f(t)中频率为ω的分量才会有内积的结果，其余分量的内积为0。可以理解为f(t)在上的投影，积分值是时间从负无穷到正无穷的积分，就是把信号每个时间在ω的分量叠加起来，可以理解为f(t)在上的投影的叠加，叠加的结果就是频率为ω的分量，也就形成了频谱。傅里叶逆变换的公式为：



下面从公式分析下傅里叶逆变换的意义：


傅里叶逆变换就是傅里叶变换的逆过程，在F(ω)和求内积的时候，F(ω)只有t时刻的分量内积才会有结果，其余时间分量内积结果为0，同样积分值是频率从负无穷到正无穷的积分，就是把信号在每个频率在t时刻上的分量叠加起来，叠加的结果就是f(t)在t时刻的值，这就回到了我们观察信号最初的时域。


对一个信号做傅里叶变换，然后直接做逆变换，这样做是没有意义的，在傅里叶变换和傅里叶逆变换之间有一个滤波的过程。将不要的频率分量给滤除掉，然后再做逆变换，就得到了想要的信号。比如信号中掺杂着噪声信号，可以通过滤波器将噪声信号的频率给去除，再做傅里叶逆变换，就得到了没有噪声的信号。


优点：频率的定位很好，通过对信号的频率分辨率很好，可以清晰的得到信号所包含的频率成分，也就是频谱。
缺点：因为频谱是时间从负无穷到正无穷的叠加，所以，知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。例子：平稳信号：


    



傅里叶变换的结果：  



   

由于信号是平稳信号，每处的频率都相等，所以看不到傅里叶变换的缺点。对于非平稳信号：信号是余弦信号，仍然有四个频率分量





傅里叶变换的结果：



由上图看出知道某一频率，不能判断，该频率的时间定位。不能判断某一时间段的频率成分。
短时傅里叶变换

傅里叶变换存在着严重的缺点，就是不能实现时频联合分析。傅里叶变换要从负无穷计算到正无穷，这在实际使用当中，跟即时性分析会有很大的矛盾。根据这一缺点，提出了短时傅里叶变换。后来的时间—频率分析也是以短时傅里叶变换为基础提出的。

为了弥补傅里叶变换的缺陷，给信号加上一个窗函数，对信号加窗后计算加窗后函数的傅里叶变换，加窗后得到时间附近的很小时间上的局部谱，窗函数可以根据时间的位置变化在整个时间轴上平移，利用窗函数可以得到任意位置附近的时间段频谱，实现了时间局域化。短时傅里叶变换的公式为：



在时域用窗函数去截信号，对截下来的局部信号作傅立叶变换，即在t时刻得该段信号得傅立叶变换，不断地移动t，也即不断地移动窗函数的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换，这样就得到了时间—频率分析。短时傅里叶变换的本质和傅里叶变换一样都是内积，只不过用  代替了  ，实现了局部信号的频谱分析。短时傅里叶变换的另一种形式：



该式子表明在时域里  加窗函数  ，得出在频域里对  加窗  。优点：在傅里叶变换的基础上，增加了窗函数，就实现了时间—频率分析。缺点：短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。测不准原理告诉我们，不可能在时间和频率两个空间同时以任意精度逼近被测信号，因此就必须在信号的分析上对时间或者频率的精度做取舍。短时傅里叶变换受到测不准原理的限制，所以短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。在实际使用时，根据实际情况选用合适的窗函数。例子：原始信号：信号是余弦信号，有四个频率分量.






当窗函数选为：







短时傅里叶变换为：



   



由上图可以看出，时域的分辨率比较好，但是频率出现一定宽度的带宽，也就是说频率分辨率差；当窗函数选择为：







短时傅里叶变换为：





由上图可以看出，频率的分辨率比较好，但是时域分辨率差，有点接近傅里叶变换。由上图可以看到短时傅里叶变换的缺点。