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  前些日子，弄JPEG图片解压时，遇到一个叫DCT（离散余弦变换），原来没有听说过。有些奇怪，有些疑问，DCT和DFT（离散傅立叶变换）什么关系？DCT是否具有DFT的物理意义？有什么差别？DCT只有DFT一半的运算量，根据有得有失的平衡观点，那有什么不足？DCT变换的可逆性，即信号序列变换后能否通过反变换恢复原信号？为什么几乎没听说连续的余弦变换，只有离散的？

       自己想了下，一些简单的观点。先看看DFT，DFT是为计算机的信号分析引入的，其思想是将原连续信号采样得到时域的有限信号序列，然后对其周期延拓，变成周期的离散信号，再对此延拓的周期信号进行傅立叶变换，得到一个在频域上周期的离散频谱信号，取此周期频谱的一个周期，即为原连续信号频谱的离散表示。傅立叶级数/变换常常用复指数函数变换，其实也可以用正弦余弦函数集，同样是完备的，而且物理意义明显，但数学上表达麻烦。 只是正弦函数和余弦函数一起才能构成完备的正交基，才能逼近原函数。但对于一些特殊的函数，有一些例外，比如如果信号是时域上的周期偶函数，那么其傅立叶级数只含有余弦项。那么就好办了，在DFT的信号周期延拓中，如果将序列进行偶延拓，那么信号就可以只用余弦项展开，就形成了DCT（运算量比DFT少一半）。但偶延拓实际上将周期加长变为2倍了 但如果延拓为偶谐函数，又可知各分量为2倍频（只有偶数频项），似乎周期又没加长，对于DCT的物理意义与DFT应该大致相当， DCT的高频分量也代表信号的高频分量，在信号压缩中，这样理解已经足够了，这些不敏感的分量量化时权重小些即除数大些，甚至直接舍去。

       至于是否可恢复原信号的问题，可以这么考虑，将DCT写成矩阵形式，即为线性变换，由于变换矩阵的向量是线性无关的，维数为N，可逆，既然变换矩阵可逆，那就能Y=CX X=C'Y，所以DCT变换是可逆的，存在反变换IDCT。有时感觉线性代数真是强大，从线性代数观点看一些问题会简单些。

       其实求傅立叶系数是信号与某一频率的余弦函数相乘积分即是卷积，求得一个系数，其实就是该信号在在单频点上的投影，或分量。是一种相关，其实也可以认为是（带宽极窄的）滤波。只要满足一定的采样率，用离散的点上求和代替连续的积分，得到一些离散的结果，再插值可恢复为连续。以前的频谱分析仪里面是很多的滤波器构成滤波器组，现在用DFT（FFT）也可以完成原来滤波器相似的工作，那么也可以认为，DFT其实也就是滤波器组。也就是卷积，相关，投影，插值，滤波有着某种意义的相同。

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