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一、长线复数方程的推导

在正弦激励下，沿线各处的电压、电流在稳态时都是正弦波，故可用相量（复数）表示，记作：

（10-3-1）

（10-3-2）

式中，Im表示取虚部，、各为电压、电流相量，只和x有关，以下简写为、。将式（10-3-1）、式（10-3-2）代入式（10-2-6）、式（10-2-7），得：

（10-3-3）

（10-3-4）

式中：

（10-3-5）

上式中分别称为传播系数、衰减系数和相位系数；是长线的单位长度的串联阻抗，单位是W/m或W/km；是长线的单位长度的并联导纳，单位是S/m或S/km。

的单位是奈培/公里（Np/km）或奈培/米（Np/m），a 的单位是rad/km或rad/m。

式（10-3-3）、式（10-3-4）是复数形式的齐次常微分方程，其特征方程为：，特征根为，故式（10-3-3）的解为：

（10-3-6）

式中，，是积分常数，由边值条件决定。

将式（10-2-3）改写为复数形式：

故：

（10-3-7）

式中：

（10-3-8）

称为长线的特性阻抗，单位是。

为了求式（10-3-6）、式（10-3-7）确定的解，需要知道边界条件。设始端电压、电流各为、，代入此两式中：

解得：

（10-3-9）

将、代入式（10-3-6）、式（10-3-7），得到沿线任一点处的电压和电流。

（10-3-10）

同理可得：

（10-3-11）

现令x=l，l是线长，则终端的电压和电流由式（10-3-10）、（10-3-11）得：

（10-3-12）

如已知终端电压、电流，解上式可得始端电压、电流：

（10-3-13）

已知、，也不难求沿线任一点的电压和电流，只需将式（10-3-13）代入式（10-3-10）、式（10-3-11）中即可：

(10-3-14)

令是从任一点到终端的距离，上式成为：

（10-3-15）

式（10-3-10）、式（10-3-11）和式（10-3-15）都是长线的基本方程。

二、输入阻抗和长线参数的测试

设传输线长为，由式（10-3-13）中的两式可求始端输入阻抗为：

（10-3-16）

设负载阻抗，代入上式：

（10-3-17）

当终端空载时，，有：

（10-3-18）

当终端短路时,,有：

(10-3-19)

将、代入式（10-3-17）中，得：

（10-3-20）

在上式中，首先用实验的方法测出在终端开路、短路时始端的输入阻抗、，如再知道负载阻抗，就可计算此时的始端输入阻抗。

由式（10-3-18）、式（10-3-19）知：

（10-3-21）， （10-3-22）

又因：

（10-3-23）

合并上两式得：

故：

（10-3-24）

从式（10-3-21）、式（10-3-24），可计算，于是：

（10-3-25）

又知，，从和w，可求。

例10-3-1 某单相均匀传输线的R₀=0.08W/km，wL₀=0.4W/km，wC₀=3´10^-6S/km，G₀=0，线长km，负载终端电压130KV，负载消耗功率50MW，负载功率因数0.9（感性），求始端电压、始端电流、输入功率和效率。

解：取终端电压作为参考相量，即，则终端电流为：

所以：

单位长度的串联阻抗为：

单位长度的并联导纳为：

特性阻抗：

传播系数：

_*

*本书后面述及的方程，在计算过程中如无特殊说明，均为数值方程。a 单位为rad/km，b 单位为Np/km，g 单位为1/km，l 单位为km。

始端电压为160kV，始端电流为370A，始端功率P₁为：

传输效率：