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静电场的能量

一个物体带了电是否就具有了静电能？为了回答这个问题，让我们把带电体的带电过程作下述理解：物体所带电量是由众多电荷元聚集而成的，原先这些电荷元处于彼此无限离散的状态，即它们处于彼此相距无限远的地方，使物体带电的过程就是外界把它们从无限远聚集到现在这个物体上来。在外界把众多电荷元由无限远离的状态聚集成一个带电体系的过程中，必须作功。根据功能原理，外界所作的总功必定等于带电体系电势能的增加。因为电势能本身的数值是相对的，是相对于电势能为零的某状态而言的。按照通常的规定，取众多电荷元处于彼此无限远离的状态的电势能为零，所以带电体系电势能的增加就是它所具有的电势能。于是我们就得到这样的结论：一个带电体系所具有的静电能就是该体系所具有的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚集成该带电体系的过程中，外界所作的功。

那么带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还是由电荷激发的电场所携带？也就是，能量定域于电荷还是定域于电场？在静电学范围内我们无法回答这个问题，因为在一切静电现象中，静电场与静电荷是相互依存，无法分离的。随时间变化的电场和磁场形成电磁波，电磁波则可以脱离激发它的电荷和电流而独立传播并携带了能量。太阳光就是一种电磁波，它给大地带来了巨大的能量。这就是说，能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。

既然静电能是定域于电场的，那么我们就可以用场量来量度或表示它所具有的能量。

电容器充电的过程可以理解为，不断把微量电荷dq从一个极板移到另一个极板，最后使两极板分别带有电量+Q和-Q。当两极板的电量分别达到+q和-q时，两极板间的电势差为u_AB，若继续将电量dq从负极板移到正极板，外力所作的元功为

,

式中C是电容器的电容。电容器所带电量从零增大到Q的整个过程中，外力所作的总功为

.

外力所作的功A等于电容器这个带电体系的电势能的增加，所增加的这部分能量，储存在电容器极板之间的电场中，因为原先极板上无电荷，极板间无电场，所以极板间电场的能量，在数值上等于外力所作的功A，即

. (9-77)

若电容器带电量为Q时两极板间的电势差为U_AB ，则平行板电容器极板间电场的能量还可以表示为

,(9-78)

和

(9-79)

设电容器极板上所带自由电荷的面密度为s，极板间充有电容率为e的电介质，电场强度可以表示为

,

极板上的电量可以表示为

Q = s S = e E S , (9-80)

式中S是电容器极板的面积。如果电容器两极板间的距离为d，则电势差U_AB 与电场强度的关系可以写为

U_AB = E d . (9-81)

将式(9-80)和式(9-81)代入式(9-78)，得

,

由此可以求得电容器中静电能的能量密度

.(9-82)

式(9-82)虽然是从平行板电容器极板间电场这一特殊情况下推得的，可以证明这个公式是普遍成立的。这个公式表明，如果电场中一点的电场强度为E，那么在该点附近单位体积内所具有的电场能量为eE²/2 。这个公式不仅适用于各向同性电介质中的静电场，也适用于真空中的静电场。在真空中，e =e₀ ，式(9-82)成为

.(9-83)

公式(9-82)既适用于匀强静电场，也适用于非匀强电场，还适用于变化的电场。对于非匀强电场，空间各点的电场强度是不同的，而在体元dt内可视为恒量，所以体元dt内的电场能量为

,

整个电场的能量可以表示为

,(9-84)

积分在整个电场中进行。

在各向异性电介质中，一般说来D与E的方向不同，这时电场能量密度应表示为

, (9-85)

式(9-84)应由下式代替

. (9-86)