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通常，可以透過求解近軸波動方程來找到雷射的輸出。該方程最廣為人知的解法是理想的單模高斯光束的解法。存在依賴於給定係統對稱性的其他正交解集。1 它們可用於對高階光束模式進行建模。

在這篇Blog中，我們描述了 OpticStudio 中可用於表徵高階雷射光束的模型。定義後，此類光束可以在 OpticStudio 中使用物理光學傳播設計的任何光學系統中傳播。從具有矩形、圓形和橢圓形增益孔徑的雷射共振腔產生的光束可以使用 Hermite-Gaussian、Laguerre-Gaussian Ince-Gaussian 光束的可用模型進行表徵。

Hermite-Gaussian 模態

對於具有矩形對稱性的雷射腔設計，即具有矩形增益孔徑的設計，近軸波動方程的適當解由 Hermite-Gaussian 模態提供。這些模式的電場分佈可以寫成 Hermite 多項式。此類模式可以在 OpticStudio 中使用 POP 設置對話框中的內置“高斯腰”光束定義進行建模：

此模式的主要輸入是 X 和 Y 中束腰以及 X 和 Y 中光束的階數。以上設置演示瞭如何對 X 和 Y 中具有相同腰尺寸的 (0,0) 模式進行建模，對應於單模高斯光束。然而，輸入光束也可以是在 X 和 Y 上不對稱的高階 Hermite-Gaussian，例如:

Hermite-Gaussian 模態通常被指定為 TEMm,n 模式，其中 m 是 X 中光束的階數，n 是 Y 中光束的階數。同樣，高斯光束是 TEM00 模式光束。

“Gaussian Waist”光束定義的輸入參數的進一步描述可以在標題為“關於物理光學傳播”的Help系統部分中找到。

Laguerre-Gaussian 模態

對於圓柱對稱的雷射腔設計，即具有圓形增益孔徑，Laguerre-Gaussian模態提供了對近軸波動方程的適當解。這些模式的電場分佈可以寫成Laguerre polynomials。可以使用 OpticStudio 安裝提供的“Laguerre beam”DLL 在 OpticStudio 中對此類模式進行建模：

該模型的輸入是光束在徑向 (n) 和方位角 (l) 方向上的順序、束腰 (wo) 和模式旋轉角 (phi0)。請注意，指定 phi0 = 0 等效於對Laguerre-Gaussian 模態 (LGM) 進行建模，而指定 phi0 = 90 等效於對偶 LGM 建模。 2
“Laguerre光束”DLL 的源代碼可以在 OpticStudio 安裝文件夾中找到，預設情況下是 Documents\Zemax\DLL\PhysicalOptics。此文件夾的位置顯示在文件選項中..

項目偏好...文件夾：

Ince-Gaussian 模態

對於具有橢圓對稱增益孔徑的雷射腔設計，近軸波動方程的適當解由 Ince-Gaussian  模態提供。這些模態的電場分佈可以寫成 Ince 多項式。 Miguel A. Bandres 和 Julio C. Gutiérrez-Vega 在題為“近軸波動方程的 Ince-Gaussian 模態和穩定諧振器”的論文中簡要描述了這些多項式（JOSA，第 21 卷，第 5 期，2004 年 5 月，第. 873).2 FM 的“Periodic Differential equations”一書中提供了這些多項式的完整描述Arscott (Pergamon Publishing, Oxford, UK, 1964).3

Ince-Gaussian 模態可以在 OpticStudio 中使用“Ince-Gaussian”DLL 建模：

該 DLL 包含在 OpticStudio 安裝中，可以在文件夾 {Zemax}\DLL\PhysicalOptics 中找到，如上一節所述。將不提供此 DLL 的光源代碼。

該模型的輸入是階數 p 和度數 m、束腰 (w0)、光束的半焦距 (f0) 和光束極性（0 = 偶數；1 = 奇數）；最後一個輸入決定了光束是由偶數還是奇數 Ince 多項式描述的。 Bandres 和 Gutiérrez-Vega 的論文中提供了上述每個輸入的完整描述。 2 列出了一些未使用的輸入，以便該模型的輸入表結構與 OpticStudio 中內置的高斯腰模型的結構相匹配。

如 Bandres 和 Gutiérrez-Vega 的論文中所述，構建 Ince-Gaussian 模式光束輪廓的一個重要部分是解決給定輸入集的特徵值問題。這個特徵值問題是在 Ince-Gaussian DLL 內部使用 CLAPACK 庫中提供的子程序解決的。這個庫是免費提供的，可以從 http://www.netlib.org/clapack/.4 下載

From the beam waist and semi focal separation, a dimensionless ellipticity parameter may be calculated:根據束腰和半焦距，可以計算出無因次橢圓率參數：

如 Bandres 和 Gutiérrez-Vega 的論文所述，w0 和 f0 縮放光束模式的物理尺寸，而 e 調整橫向光束結構的橢圓度。 2

Ince-Gaussian 和 Laguerre-Gaussian 模態都是極限情況。具體來說，可以透過設置 e = ∞ 從 Ince-Gaussian 解中找到 Hermite-Gaussian 模態，而通過設置 e = 0 從 Ince-Gaussian 解中可以看到 Laguerre-Gaussian 模態。圖 3 很好地證明了這種轉變Bandres 和 Gutiérrez-Vega 的論文：2

作者直接提供的另一個圖也顯示了這種轉變（對於 p = 4）：2

當 e 接近 0 時，Ince-Gaussian DLL 準確地再現了 Laguerre-Gaussian 模態的結果。但是，在此限制下，使用 Laguerre-Gaussian DLL 在 OpticStudio 中對這些模態進行建模在計算上更有效。

隨著 e 接近 ∞，當由 Ince-Gaussian DLL 計算的特徵值解發散時，就會到達一個點。這種發散行為是計算算法的限制。當達到發散點時，Ince-Gaussian DLL 產生的結果變得不準確。不幸的是，對於唯一的 e 值，這一點不會出現（還依賴於 p、m 和光束極性）。但是，確定何時產生不同的解決方案很簡單。該解決方案與相應的 Hermite-Gaussian 結果不一致（對於大 e，它們應該如此）。在這種情況下，應使用高斯束腰光束選項來模擬光束模式。

雷射的一般輸出可以從近軸波動方程的解中找到。對於雷射增益孔徑中的矩形、圓形和橢圓對稱性，已經找到了該方程的三組正交解。所有這三種解決方案都可以在物理光學傳播 (POP) 中的 OpticStudio 中建模。一旦確定了由這些解決方案中的任何一個定義的光束的輸入分佈，就會使用 POP 將光束傳播通過感興趣的光學系統。

博文作者:
Kerry Herbert
歐洲市場經理
Zemax

知識庫文章作者:
Sanjay Gangadhara
首席技術官
Zemax

參考文獻

1. Siegman, A. E. 1986. Lasers. Mill Valley, CA: University Science.

2. Bandres, Miguel A., and Julio C. Gutiérrez-Vega. 2004. "Ince-Gaussian modes of the paraxial wave equation and stable resonators." JOSA 21 (5): 873. doi:https://doi.org/10.1364/JOSAA.21.000873.

3. Arscott, F.M. 1964. Periodic Differential Equations. Oxford, UK: Pergamon Publishing.

4. Anderson, E., Z. Bai, C. Bischof, S. Blackford, J. Demmel, J. Dongarra, J Du Croz, et al. 1999. LAPACK User's Guide. Third Edition. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics.