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图7. 三维卷积



卷积层

现在是时候运用我们今天所学的知识来构建我们的CNN层了。我们的方法和我们在密集连接的神经网络中使用的方法几乎是一样的，唯一的不同是这次我们将使用卷积而不是简单的矩阵乘法。正向传播包括两个步骤。第一步是计算中间值Z,这是利用输入数据和上一层权重W张量(包括所有滤波器)获得的卷积的结果,然后加上偏置b。第二步是将非线性激活函数的应用到获得的中间值上(我们的激活函数表示为g)。对矩阵方程感兴趣的读者可以在下面找到对应的数学公式。如果您不清楚其中的操作细节，我强烈推荐我的前一篇文章，在那篇文章中，我详细讨论了紧密连接的神经网络的原理。顺便说一下，在下图中你可以看到一个简单的可视化，描述了方程中使用的张量的维数。

连接剪枝和参数共享

在文章的开头，我提到密集连接的神经网络不擅长处理图像，这是因为需要学习大量的参数。既然我们已经理解了卷积是什么，让我们现在考虑一下它是如何优化计算的。在下面的图中，以稍微不同的方式显示了二维卷积，以数字1-9标记的神经元组成了输入层，并接受图像像素亮度值，而A - D单元表示计算出的特征map元素。最后，I-IV是需要经过学习的卷积核的值。





图9. 连接剪枝和参数共享



现在，让我们关注卷积层的两个非常重要的属性。首先，你可以看到，并不是所有连续两层的神经元都相互连接。例如，神经元1只影响A的值。其次，我们看到一些神经元共享相同的权重。这两个性质都意味着我们需要学习的参数要少得多。顺便说一下，值得注意的是，滤波器中的一个值会影响特征map中的每个元素——这在反向传播过程中非常重要。



卷积层反向传播

任何尝试过从头编写自己的神经网络代码的人都知道，完成正向传播还没有完成整个算法流程的一半。真正的乐趣在于你想要进行反向传播得到时候。现在，我们不需要为反向传播这个问题所困扰，我们可以利用深度学习框架来实现这一部分，但是我觉得了解底层是有价值的。就像在密集连接的神经网络中，我们的目标是计算导数，然后用它们来更新我们的参数值，这个过程叫做梯度下降。

在我们的计算中需要用到链式法则——我在前面的文章中提到过。我们想评估参数的变化对最终特征map的影响，以及之后对最终结果的影响。在我们开始讨论细节之前，让我们就对使用的数学符号进行统一——为了让过程更加简化，我将放弃偏导的完整符号，而使用如下所示的更简短的符号来表达。但记住，当我用这个符号时，我总是指的是损失函数的偏导数。





图10. 单卷积层的输入和输出的正向和反向传播



我们的任务是计算dW[l]和db[l]——它们是与当前层参数相关的导数，以及dA[l -1]的值——它们将被传递到上一层。如图10所示，我们接收dA[l]作为输入。当然，张量dW和W、db和b以及dA和A的维数是相同的。第一步是通过对输入张量的激活函数求导得到中间值dZ[l]。根据链式法则，后面将使用这个操作得到的结果。

现在，我们需要处理卷积本身的反向传播，为了实现这个目的，我们将使用一个矩阵运算，称为全卷积，如下图所示。注意，在这个过程中，对于我们使用卷积核，之前我们将其旋转了180度。这个操作可以用下面的公式来描述，其中滤波器用W表示，dZ[m,n]是一个标量，属于上一层偏导数。





图11. 全卷积





池化层

除了卷积层，CNNs还经常使用所谓的池化层。池化层主要用于减小张量的大小和加速计算。这种网络层很简单——我们需要将图像分割成不同的区域，然后对每个部分执行一些操作。例如，对于最大值池化层，我们从每个区域中选择一个最大值，并将其放在输出中相应的位置。在卷积层的情况下，我们有两个超参数——滤波器大小和步长。最后一个比较重要的一点是，如果要为多通道图像进行池化操作，则应该分别对每个通道进行池化。





图12. 最大值池化的例子



池化层反向传播

在本文中，我们将只讨论最大值池化的反向传播，但是我们将学习的规则只需要稍加调整就可以适用于所有类型的池化层。由于在这种类型的层中，我们没有任何必须更新的参数，所以我们的任务只是适当地分布梯度。正如我们所记得的，在最大值池化的正向传播中，我们从每个区域中选择最大值，并将它们传输到下一层。因此，很明显，在反向传播过程中，梯度不应该影响矩阵中没有包含在正向传播中的元素。实际上，这是通过创建一个掩码来实现的，该掩码可以记住第一阶段中使用的值的位置，稍后我们可以使用该掩码来传播梯度。





图13. 最大值池化的反向传播